泰勒中值定理(泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广)
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1本文目录:
- 1、能不能解释一下泰勒中值定理
- 2、泰勒中值定理
- 3、中值定理 泰勒公式
- 4、taylor公式是什么?
- 5、泰勒中值定理和麦克劳林公式
2能不能解释一下泰勒中值定理
泰勒中值定理,是高等数学中的一项定理。
函数介绍
如果函数 在含有 的某个开区间
内具有直到 阶的导数,且在闭区间
上连续,则对任的
,至少存在一点
介于 与 之间,使得
阶泰勒公式
成立,
其中
(拉格朗日型余项)或
(佩亚诺型余项)。
当
时,即为拉格朗日中值定理;当
时,称为麦克劳林公式。
3泰勒中值定理
这是泰勒公式,是逼近原理的一个典型。泰勒公式是在x=x0附近用一个多项式Pn(x)来逼近一个在x=x0处具有很好的性质的函数f(x),也就是说Pn(x)在x0附近约等于f(x)。这个好的性质就是f(x)在x=x0处有直到n阶的导数,这里是n+1阶,一样的。如果要让Pn(x)在x=x0附近很接近f(x),需要满足Pn(x0)=f(x0)且Pn(x)在x0处的k阶导数与f(x)在x0处的k阶导数相等,1kn。所以对题目中那个式子两边求k阶导,再令x=x0可得ak=f(x)在x0处的k阶导/k!。从而可以确定Pn(x)。其实这里还有一个余项Rn(x).以后你可能会知道的
4中值定理 泰勒公式
在数学中,泰勒公式是用点接近其公式的值的说明的信息的功能。如果函数是足够光滑,以根据各自的一阶导数值已知的功能的点上,泰勒公式可以用于构建做因子的多项式来近似在这一点附近的函数值,这些导数值。泰勒多项式方程还给出了这样的功能的实际值之间的偏差。
泰勒公式(泰勒公式)的
泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(A,B),直到第n + 1阶导数,在此范围内的功能可以扩展为一个多项式,并与一个以上的项目(二十):
函数f(x)= F + f(其中(X)。 X)(XX)+ F'(X)/ 2! *(XX)^ 2 + F'''(X)/ 3! *(XX)^ 3 + ...... + F(n)的(X)/ N! *(XX)^ N + Rn的
其中的Rn = F(N + 1)(ξ)/(N + 1)! *(二十)^(n + 1个),其中x和X,ξ之间,拉格朗日式中提到的其余的剩余部分。
(注:... F(n)的(x)的值为f n阶导数(x)的,而不是F(N)和x相乘)
BR
我们知道,函数f(x)= F(X)+ F'(X)(XX)+α(基于有限增量定理拉格朗日中值定理的推导有limΔx→0下的f(x +ΔX)-f(X)= F'(X)。ΔX),其中α是在limΔx→0即limx→x中的错误。前提是趋向于零,所以往往在近似计算不够精确;所以我们需要一个足够准确,可以估算错误多项式:P(X)= A0 + A1(XX)+ A2(XX)^ 2 + ...... +的^ N(XX)来表示的近似函数f(x),并写入错误是函数f(x) - P(x)的具体表达。设定函数P(x)的满足P(X)= F(X),P'(X)= F'(X),P'(X)= F'(X)。 .. ...,P(n)的(X)= F(N)(X),然后可以顺序地获得的A0,A1,A2,......,一个。显然,P(X)= A 0,所以A 0 =函数f(x); P'(x)= A 1,A 1 = F'(X); P'(X)= 2 A 2,A 2! = f的'(X)/ 2! ...... P(n)的(X)= N!一,安= F(n)的(X)/ N!因此,一个数的系数已被确定,得到:(x)P(x)的= F + f的(X)(二十)+ F''/ 2(二十(x)的!。) ^ 2 + ...... + F(n)的(X)/ N!? (XX)的n次方。然后请求错误的具体表现。设置Rn中(x)的=函数f(x)-P(x),则与设Rn = F(十)(X) - (x)的P(英寸x)= 0。这是可能的,得到设Rn = Rn的'(X)= Rn的''(X)= ... = Rn的(N)(X)= 0。根据柯西中值定理可以得到氡(X)/(XX)。 ^(N + 1)=(Rn中(x)的-Rn(X))/((二十)。^(N + 1)-0)= Rn中'(ξ1)/(n + 1个)的n次方(注:(X.-x)的^第(n + 1)= 0。),其中x和X之间ξ1;继续(ξ1-X)。使用Cauthy定理(Rn中'(ξ1)-Rn'(X))/((n + 1个)(ξ1-X)^正 - 0)= Rn中''(ξ2)/ N(N + 1)。 (ξ2-x)的^(n-1个),其中x之间ξ1和ξ2;.连续使用n + 1个Rn中后得到(x)的/第(xx)^第(n + 1)= Rn的(n + 1个)(ξ)/(n + 1个)!,其中在两者之间在xξX。和。然而,Rn的第(n + 1)(x)的= F(N + 1)(x)的P(n + 1个)(x)中,由于在P(n)的(x)的=正!一,正!一个是一个常数。因此P第(n + 1)(x)的= 0,则是Rn中第(n + 1)(x)的= F(N + 1)(x)的。总之可用,其余Rn中(x)的= F(N + 1)(ξ)/(n + 1个)!? (XX)^(N + 1)。在一般的扩展函数来计算的,因此,X倾向于取一固定值,则也将Rn的(x)的可写为Rn中。
5taylor公式是什么?
taylor公式如下:
taylor公式,也叫做泰勒公式,也称为泰勒中值定理,是高等数学中的一个重要定理,也是考研数学中的一个重要考点。其内容是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数f(x)在含x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,则可以用泰勒展开公式去逼近原函数。
泰勒公式的运用:
应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。
应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。
应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。
应用泰勒公式可以求解一些极限。
应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。
6泰勒中值定理和麦克劳林公式
泰勒中值定理:
若函数f(x)在含有x的开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x。)多项式和一个余项的和:
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=【f(n+1)(ξ)/(n+1)!】*(x-x。)^(n+1),这里ξ在x和x。之间
麦克劳林公式
若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和:
f(x)=f(0)+f'(0)x+【f''(0)/2!】x^2,+【f'''(0)/3!】x^3+……+【f(n)(0)/n!】x^n+Rn
其中Rn=【f(n+1)(θx)/(n+1)!】x^(n+1),这里0θ1。
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2023-01-04 16:10:11
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